编辑导读：有100瓶药水，其中一瓶是毒药，只要一小滴，就足以让小白鼠24小时内死亡。请问怎么在1天内用最少的老鼠找出这瓶毒药？本文作者对此进行了解答，一起来看看吧。

这是一道非常经典的腾讯面试题，可能对于程序猿来说并不陌生，但是对于第一次看到这道题的同学来说，确实会比较烧脑。今天除了讲解这道题如何解，更多的是希望给大家引入信息论的概念，那么以后不管是遇到试毒药还是称球重这类问题，都是小case啦！

可能有人会说，我用100只小白鼠就可以知道毒药是哪瓶了，所以小白鼠是招你还是惹你了，非要搭上一整个家族来给你找毒药？其实这个问题答案很简单，我们只需要7只小白鼠就够了，而这个问题的解题关键就是数学编码中的二进制。

一、如何用7只小白鼠找毒药 — 二进制编码

Step1：我们对100个瓶子进行1～100号的编码，再转化为7位的二进制码（至于为什么是7位，看到后面你就懂了）。比如1号瓶子就转化为了“0000001”，10号瓶子就转化为了“0001010”：

Step2：找来7只小白鼠，分别对他们进行1～7的编号。对于编号是1的小白鼠，喂它所有二进制编码第1位（从左到右数）为1的瓶子；对于编号2的小白鼠，喂它所有二进制编码第2位（从左到右数）为1的瓶子；以此类推…

Step3：接下来就是看一天后哪几只老鼠挂了：如果某个编号的老鼠死了，那说明毒药瓶子的二进制编码在对应编号位置上的二进制值是1；反之如果某个编码的老鼠没有死，那说明毒药瓶子的二进制编码在对应编号位置上的二进制值是0。假如最后是2，3，5，7号老鼠挂了，那说明对应的毒药瓶子二进制编码是“0110101”，转化成十进制，即第53号瓶子是毒药。

二、为什么至少是7只小白鼠？— 信息熵

前面我们只说明了7只小白鼠是可以完成找毒药这件事情，但是我们并没有证明7只就是最优解，那要论证这个答案就要引入信息论中的“信息熵”这样一个概念。

首先，我们先来了解下“熵”：

在信息论中，熵的概念和热力学中的熵是类似的，如果大家还记得高中化学，里面有提到一个“混乱度”的概念，其实熵在热力学里指的就是系统的混乱度，大概应该还记得“任何化学变化或者化学反应都是往熵增加的这个方向进行”这句话吧。

热力学熵：系统的混乱程度

信息熵：信息的不确定性的度量

而在信息论中，熵指的是信息的不确定性，也就是说信息的不确定程度越大，那么对应的信息熵的也就越大，其实数学的本质就是消除信息中的这种不确定性。

对于抛硬币来说，每次要猜正反面只能靠瞎猜，正反面出现的概率都是1/2，对于这类事件来说其不确定性较大，信息熵也会相对较大；如果让你猜国足拿世界杯冠军的可能性，那这种小概率事件的不确定性就比较小了，信息熵相对来说就会很小。

在信息论中，常用的几个概念也可以给大家定义下，避免混淆：

1、信息熵：用来度量信息不确定性程度的大小，是一个绝对的值。（至于具体怎么计算度量，后面介绍）

2、信息：凡是在一种情况下能减少信息的不确定性的任何事物，都可以叫信息，它的反义词可以理解为是“废话”

3、信息量：是对信息的度量，表示某个具体事情发生后带来的信息的多少，是个相对值。事件发生的概率越低，当事件发生了以后带来的信息越大，说明信息量越大；反之越高概率事件的发生，其产生的信息量就越小。比如某明星出轨的消息被爆出来，而之前他在大众面前的人设是个极品好男人，那么这则消息的信息量就非常大了。

接下来，回到“信息熵”如何计算度量：

信息量度量的是一个具体事件发生了所带来的信息，而熵则是在结果出来之前对可能产生的信息量的期望——考虑该随机变量的所有可能取值，即所有可能发生事件所带来的信息量的期望。

所以香农给了我们一个这样的公式（划重点！）：

P为X的概率质量函数（probability mass function），我们可以理解为事件xi 发生的概率。

b是对数所使用的底。当b = 2，熵的单位是bit。

我们用抛硬币来举例，“抛一次硬币是正面”这个随机变量X的信息熵为

也就是“抛一次硬币是正面”‍这个事件的信息熵是1 bit，我们也就只需要用1位二进制的数字即可以表示这个信息的大小（0或者1）

#开始解题# 计算小白鼠找毒药中的信息熵：

1、首先，”100瓶药水其中有1瓶有毒“这个随机变量X的信息熵为：

2、1只小白鼠喝水以后的要么活着，要么死去，一共有两种状态，所以”1只小白鼠喝完水以后的状态“这个随机变量Y的信息熵为：

3、n只小白鼠喝完水会有2^n种状态，即”n只小白鼠喝完水以后的状态”这个随机变量Z的信息熵为：

所以根据题目，要用到最少的老鼠来找到那瓶毒药，转化为信息熵就是要满足：

H(Z) >= H(X)，即n >= 6.64

那么n的最小值是7，也就是说最少要7只老鼠可以找到毒药

其实，上面的熵计算如果你觉得复杂的话，也可以这么简化来理解：

1只小白鼠活着或者死了，可以代表两种状态，n只小白鼠就代表2^n种状态

而毒药存在1～100号瓶子中的某一瓶对应了100种情况

也就是我们需要找到最小的n满足：

2^n>= 100，即n>=7

三、挑战下高阶版的试毒问题

仔细审题，我们发现这次小白鼠6小时内就会挂掉，题目没有说具体是什么时候会挂，那我们可以理解为：喝了毒药最久6小时会挂，如果6个小时还没挂，说明这瓶水不是毒药。

1、首先，还是”100瓶药水其中有1瓶有毒“这个随机变量X的信息熵为：

2、而这次，小白鼠的状态有点不一样，他在喝完水1天内的状态可能是：

1）在第0分钟的时候喝了一滴水以后，第6小时死去

2）第6小时依然活着，喝了一滴水以后，第12小时死去

3）第12小时依然活着，喝了一滴水以后，第18小时死去

4）第18小时依然活着，喝了一滴水以后，第24小时死去

5）第6小时依然活着，喝了一滴水以后，在第24小时依然活着

可见一只小白鼠在喝了一整天水后，可能会出现的状态有5种，所以”1只小白鼠喝完水24h以后的状态“这个随机变量Y的信息熵为：

3、n只小白鼠喝了一整天水后就会有5^n种状态，即”n只小白鼠喝完水24h以后的状态”这个随机变量Z的信息熵为：

所以根据题目，要用到最少的老鼠来找到那瓶毒药，转化为信息熵就是要满足：

H(Z) >= H(X)，即 2.3219n >= 6.64

那么n的最小值是3，也就是说最少要3只老鼠可以找到毒药

留个作业：那具体怎么利用这3只小白鼠找到毒药呢？

根据前面简化版本的二进制编码方式的思路，我们是不是可以利用小白鼠的5种状态构造一个5进制编码方式呢？

四、我是总结

其实小白鼠试毒这个问题，第一次遇到确实会比较难下手，对于做过的人来说，可能大部分人也仅仅停留在知道用二进制编码的方式解决，很少会有人去思考这背后的原理和逻辑的本质。

如果把问题变得再复杂点，往往大部分人就会去试，7只小白鼠不行就8只小白鼠，反正只知道用编码的方式，这就是知其然而不知所以然。同样的，当我们仅仅掌握了许多理论知识，但是缺乏应用场景的实操以及面向各种情况的修正与优化，最终也将是纸上谈兵。

所以，这也是我个人比较推崇的一种思考方式：当我们遇到一个好玩的问题以及巧妙的解决方法的时候，我们可以继续去深挖背后的原理和逻辑的本质，再反推更多的应用场景，做到举一反三，这样才能不断的锻炼自己思维能力的广度和深度。

本文由 @WINTER 原创发布于人人都是产品经理。未经许可，禁止转载

题图来自Pexels，基于CC0协议