100种分析思维模型之:泊松分布

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本文作者介绍了分析思维模型:泊松分布。泊松分布是概率分布模型的一种,可以帮助我们选择符合实际情况的概率分布去更好的预测未来。让我们来学习一下吧~

你好,我是林骥。

在前面的 100 种分析思维模型系列文章中,曾经介绍过正态分布、幂律分布,下面再介绍另外一种应用广泛的概率分布模型:泊松分布。

一、为什么学习泊松分布?

概率分布就像一个工具箱,泊松分布就是工具箱里的一种工具。当我们研究一个现象的时候,不妨运用假设思维,先大胆假设服从某种概率分布,然后再小心求证这个假设,以便从工具箱中找适合的工具。

你只有选择符合实际情况的概率分布,才能更好地预测未来,否则就有可能会出错。这就好比你在钉钉子的时候,选择的工具最好是锤子,而不是菜刀,否则就容易伤到手。

学习泊松分布的原理和运用方法,可以帮助我们从整体上把握随机事件发生的规律,完善我们对随机性的认识,以便做出更加准确的预测和决策,特别是提高风险防范的意识,更好地解决一些现实世界的问题。

比如,在购买保险的时候,很多人觉得小公司服务好,而且承诺同样的赔偿,于是选择小的保险公司,但事实上,万一遇到需要大额索赔的时候,有些小的保险公司是赔不出来的,其实就没能真正起到保险的作用。

在管理水平和效率差不多的情况下,保险公司的规模越大,风险往往就越小。因此,运用概率思维,我们应该优先考虑选择大的保险公司进行投保,避免花冤枉钱。

二、什么是泊松分布?

泊松分布最初是由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在 1838 年提出来的,用于描述小概率事件的分布规律,比如机器故障、自然灾害等,事件的发生是相互独立的,且概率在时间或空间上是均匀分布的。

假设随机事件发生的概率是 p,进行 n 次独立的试验,发生 k 次的概率为:

100种分析思维模型之:泊松分布

这个公式看起来比较复杂,但是相当优美,而且用计算机算起来还是比较简单的。

其中 e 是自然常数,约等于 2.718。k 为事件发生的次数,等于 0, 1, 2 ……

其中 λ 是单位时间内平均发生的次数,当 n 很大而 p 很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,λ = n*p。

其中 ! 是数学中的阶乘符号,定义 0! = 1,n! = n*(n-1)!,以此类推。比如,3! = 3*2*1 = 6。

假设一台机器平均每小时出故障的概率是 0.03%,如果想知道接下来 10000 小时发生故障的概率,那 λ 就等于 10000*0.03% = 3 次。

当 k = 0 时,P(X = 0) 就代表接下来 10000 小时不发生故障的概率,运用上面的计算公式,计算结果约等于 5%。也就是说,这台机器在 10000 小时内至少发生 1 次故障的概率高达 95%。

有些机器一旦发生故障,可能事关重大,甚至涉及生命安全。比如,在高速上行驶的汽车,刹车系统一旦失灵,就有可能造成严重的交通事故。

不怕一万,就怕万一。所以,对于一些非常重要的机器,务必要定期进行检查,提前预防意外事件的发生。

三、怎么运用泊松分布?

为了简化计算的过程,我们可以借助 GPT 来计算泊松分布的概率,给 ChatGPT 发送以下指令:

对于泊松分布,假设随机事件发生的概率是 0.03%,进行 10000 次独立的试验,至少发生 1 次的概率是多少?

100种分析思维模型之:泊松分布

考虑到 GPT 不擅长数学计算,所以我接着让它写一段 Python 代码来实现快速计算,并检验上面回答的正确性。

100种分析思维模型之:泊松分布

运用上面的 Python 代码,得到的结果确实是 0.9502,即 95.02%,验证了 ChatGPT 回答的正确性。

有了 Python 代码之后,我们还可以举一反三,修改事件发生的概率和独立试验的次数,这样就能快速计算不同条件下的概率分布。

为了更加清晰地展现泊松分布的变化,我们继续让 GPT 用 Python 绘制概率分布的曲线,稍加修改之后的代码如下:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import factorial

# 设置中文显示字体
plt.rcParams[‘font.sans-serif’] = [‘SimHei’]

# 定义泊松分布的概率质量函数
def poisson_pmf(k, lamb):
return (lamb**k * np.exp(-lamb)) / factorial(k)

# 定义参数
p = 0.0003 # 事件发生的概率
n = 10000 # 独立试验的次数
lamb = n * p

# 生成 x 坐标轴的取值范围
x = np.arange(0, 11)

# 计算对应的泊松分布的概率质量函数值
pmf = poisson_pmf(x, lamb)

# 放大图表
plt.figure(figsize=(12, 6))

# 绘制概率分布曲线
plt.plot(x, pmf)
plt.xlabel(‘次数’, fontdict={‘fontsize’: 16})
plt.ylabel(‘概率’, fontdict={‘fontsize’: 16})
plt.title(“进行 %d 次独立试验的概率分布” % n, fontdict={‘fontsize’: 20})
plt.grid(True)

# 调整刻度数字的字体大小
plt.xticks(fontsize=15)
plt.yticks(fontsize=15)

plt.show()

修改其中的 n 值,运行得到不同的概率分布曲线,从图中可以看出,随着试验次数的增加,泊松分布曲线越来越接近于正态分布曲线。

100种分析思维模型之:泊松分布

100种分析思维模型之:泊松分布

100种分析思维模型之:泊松分布

泊松分布特别适用于预测事件发生的概率。比如,通过对历史数据进行分析,我们可以预测某个时间段内到达某个地点的乘客数量,也可以检验某个机器的故障率是否符合预期,还可以估计某个地区在特定时间内发生车辆事故的概率,从而为保险费率的制定提供依据。

四、最后的话

在泊松分布出现之前,概率论与数理统计其实是两个互不相关的学科。概率论主要研究未发生的随机事件,也就是根据已知的模型和参数,预测未来的数据;而数理统计则主要是用来描述已经发生的现实。

自从泊松分布出现之后,概率论与数理统计产生了紧密的联系,这让统计学变得更加强大,我们可以根据已知的数据,去推测未知的世界,还原世界本来的样子,而且可以被验证。

很多人判定一件事发生的概率总是存在很大的误差,导致决策失误,损失惨重,其中一个重要的原因就是靠直觉,而不是靠严密的数学逻辑和推导。

通过学习和运用泊松分布,我们可以改变看待世界的方式,改变自己做决策的方式,甚至改变自己的心性,用更加理性的思维去解决问题。

比如,由于世界的不确定性和随机事件的存在,我们在准备资源时,只达到平均值是远远不够的,还需要准备一些冗余量。如果一个人忙得没有时间进行思考和休息,就难以摆脱「穷忙」的状态。

在《稀缺》这本书中,作者指出,当一个人处于稀缺的状态时,会产生很多危害,包括:认知能力下降、只关注眼前紧急的事、忽视真正重要的事、透支未来的资源、做出错误的决策、陷入恶性的循环等。

记住:凡事都要记得给自己留有余地,因为生活中难免会发生一些意外的随机事件。只有预留一定的机动时间,才能避免打乱正常的生活节奏,让自己的生活多一份从容。就好比在开车的时候,与前车保持一定的距离,这样才能更加安全地到达目的地。

总之,泊松分布是一种重要的概率分布模型,具有广泛的应用领域。通过学习和运用泊松分布,我们可以更好地理解和分析随机事件发生的规律,并用来预测未来发生的概率,进而帮助我们更好地用数据化解难题,让分析更加有效。

公众号:林骥,《数据化分析》作者

本文由 @林骥 原创发布于人人都是产品经理。未经作者许可,禁止转载。

题图来自Unsplash,基于CC0协议。

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