产品数学课:如何理解个性化推荐里的数学原理?

6月份是高考以及毕业的月份,这种时候特别适合老人家怀旧。离开课堂三年,课本上学的知识几乎都还给了老师。写这篇文章即是加深自己对个性化推荐的理解,也想趁着高考时回顾下高(中)数(学)。

一、什么是个性化推荐?

个性化推荐,是系统的智能推荐。为什么豆瓣的私人FM特别符合我们的音乐品味,又为什么电商应用总是知道我们想买什么?

个性化推荐的原理使用较多的是这3种方式:基于内容的推荐、基于用户的协同过滤、基于物品的协同过滤

这3种推荐方式的核心则是计算相似度

二、这三种推荐方式是什么?

介绍相似度的计算之前,先为大家简单介绍一下这三种推荐方式。

2.1 基于内容的推荐(Content-Based Recommendation)

表1-内容相似度举例

在上表表1的对比中,song 1与song 2,在风格、发行年份、歌手地区及内容上是相近的或者是相同的,这两首歌的相似度更高。

song 3仅有发行年份与前面两首歌匹配,其他则完全不匹配,song 3与前两者是完全不相似的。

基于内容的推荐,本质是“你喜欢某一事物,给你推荐近似的事物。”

你喜欢song 1,系统为你推荐song2。

2.2 基于用户的协同过滤(User-based CF)

表2-用户相似度举例

基于用户的协同过滤,通俗的解释是:和你相似的用户还买了什么?

我们会先找到相似的用户,然后找到此类用户喜欢的且目标用户未接触的物品,将其推荐给目标用户。

上表表2中,我们先找到相似的User 1和User 2(下文简称U1、U2),他们都购买了商品A、C且未购买商品B。

然后将U1买过的且U2没买过的商品D推荐给U2。

U3则仅购买商品B,其他的都未购买,推荐系统会认为他与U1、U2没有什么关联,所以我们不会对U3推荐U1和U2购买的商品。

2.3 基于物品的协同过滤(Item-Based CF)

基于物品的协同过滤,以物品为核心,它是对基于用户的协同过滤的一种改良

理解为:“买了这款商品的用户,还买过什么。”

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图2-京东图书首页

前阵子我购买了《推荐系统实践》一书,在上图中,京东给我推荐了产品相关书籍《幕后产品》以及数据相关书籍《商业智能数据分析》。

当然万一我是半个研发呢,所以给我又推荐了一本《深入浅出Prometheus》。

2.4 三种推荐方式的区别

理解完这三种推荐方式,我们来看看他们之间的区别。

1)基于物品的协同过滤与基于内容的推荐

内容和物品都是事物的一种,2者似乎都是在计算物品的相似性?看起来是相同的。

但实际上基于内容的推荐,更倾向于两件事物是接近的、相似的与用户的行为无关。而基于物品的协同过滤则与事物是否相似关系较小,更多与用户行为有关,是有顺承关系的。

2)基于物品的协同过滤与基于用户的协同过滤

基于用户的协同过滤,是先找相似的人,再找相似的人喜欢的物品。

基于物品的协同过滤,则是找到和某个物品相关的物品。

当物品数量、特征相对固定的情况下,更多采用基于物品的协同过滤因为相对稳定一定程度上意味着不需要实时计算,通过离线的运算,对服务器的压力就很小了。

当物品和用户量都非常大,这样会造成购买的物品重叠性较低,我们很难才能找到相似的用户,Item-Based CF就不适用了。

而在如内容类媒体,微博、新闻网站等,物品(内容)的数量、特征都在不断的变化,去计算物品的相似度性能消耗反而更大了。而新闻媒体更倾向于群体的喜好,这个时候使用User-Based CF也更加的合适。

初步了解完这三种推荐方式,我们便回到它们的核心:相似度的计算。

三、相似度怎么计算

相似度常见的计算方式是余弦相似度、欧几里德距离、Jaccard相关系数。

下文则是对余弦相似度欧几里德距离的理解。

数学课正式开始(敲黑板)。

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图3-多举栗子挂柯南

3.1 余弦相似度

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图4-余弦相似度公式

最开始我看到这个公式时,有种《个性化推荐:看到公式就放弃》的感觉。可是作为一枚产品汪,我觉得,我还是要抢救一下。

于是我试着将公式拆解,

similarity:相似性;类似性。

cos(θ):在直角三角形中=领边/斜边;在空间中=空间中两个向量夹角的余弦值。

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图5-直角三角形回忆

连起来说,相似度=空间中两个向量夹角的余弦值。

在线性代数上:“向量是多维空间中从原点出发,具有大小及方向的有向线段。”

向量的夹角越小,方向则越接近。代表着内容、用户、物品的向量方向越接近,则他们越相似。

而根据图3的公式计算,夹角越小,cos(θ)越趋近于1。所以前辈们将余弦值当成量化相似度的手段,当余弦值趋近于1,二者则是相似的,趋近-1的看做是不相似的。

可是,向量为什么能够代表内容,代表用户呢?

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图6-向量的夹角

向量代表着在N维空间中的方向,它的坐标表示法是:α=(x,y),这个表示法是指向量α在x轴方向以及y轴方向的坐标。不准确但通俗的理解为:在x轴方向的趋同度以及y轴方向的趋同度。

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图7-向量类比举例

换个说法,不是向量,x轴和y轴。而是等于歌曲,发行年份和风格近似度。

song2=(95%,1997),即song2这首歌发行年份在1997年,歌曲风格与Brit-Pop的匹配度有95%。

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图8-三维向量举例

理解了2维的向量,我想理解3维、多维会更加容易。

那么回到刚刚的问题:“向量为什么能够代表内容,代表用户呢?”

从刚刚的例子我们可以推导出,内容或者用户本质上是在不同维度拥有相关性的坐标

组成内容、用户的维度绝对不止于3维,当维度越多,我们就会被量化的越彻底,相似度会被计算的越准确。

在上文介绍余弦相似度的时候,一直在强调一个词:方向。余弦相似度注重维度之间的差异,不注重数值上的差异。这其实也是余弦相似度不足的地方。

表3-余弦相似度的不足

表3中,User 1,给Blur乐队和Oasis乐队分别评了1颗、2颗星,而User 2则是评了4颗、5颗星。

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图9-表3向量表示

将其在二维空间中表示,我们会发现,代表User 1和User 2的夹角非常的小,用余弦相似度来计算则会发现余弦值等于0.97,这两名用户会是非常相似的,这真的太糟糕了。

对于强调数值差异的事件相似度,我们要用什么方法来计算呢?

一种方法是,利用维度间均值是调整余弦的相似度,User 1,User 2对两支乐队评分的平均值是3。

我们将2名用户的评分减去3,则会变成User 1(-2,-1),User 2(1,2),再次通过余弦相似度计算,得出-0.8,这个时候的差异值就非常大了。

另一种方法,则是利用欧几里德距离。

3.2 欧几里德距离

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图10-欧几里德距离

欧几里德距离,它也叫欧式距离。上文我们提到的向量,也称欧几里德向量。

这个公式实际上是二维空间中两点的距离,多维空间中向量的距离。距离越小,则差异越小,越接近。

由于我们习惯相似度与1进行类比,越接近于1相似度越高。所以前辈们对欧式距离进行了归一化处理,通过将函数值加1,并取其倒数的方法来构造欧几里得相似度函数。

其中加1的目的则是为了避免分母为0。

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图11-欧几里德相似度函数

将上文表3的值代入欧几里德相似度函数,SimDistance≈0.2,那我们也能够得出正确的结论,User 1以及User 2并不相似。

欧氏距离体现事件数值的差异,如:GMV的增长金额,用户的消费频次等。类似GMV这类数字,很可能增速趋近,但是增长的金额却大不相同。

欧氏距离和余弦相似度分别适用于不同的数据分析模型,欧氏距离适用于数值差异敏感的推荐,而余弦相似度用于方向上的差异,更多用于兴趣的相似度及差异。

最后

以上,是对个性化推荐一部分笔记,在个性化推荐落实到应用层面,其实还有冷启动、过滤、加权以及融合等等。这方面有更专业的大佬已经做了许多的总结,就不多献丑了。

希望这篇笔记能让大家有所收获。如有不正之处,欢迎大家指出以及交流。

 

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题图来自Unsplash,基于CC0协议

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评论
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  1. 看到公式真的有点头疼。。

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    1. 当时重新捡起来确实花了些时间。 :arrow:

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  2. 前几天刚买的《推荐系统实践》,各种代码和公式文科生表示很无奈。期待大佬进一步讲解

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    1. 客气啦~那我有空看看写个续集嘻嘻。

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